Question

18．直角三角形ABC中，A为直角，AB=13，AC=3，P、Q为△ABC所在平面内的点，满足$\overrightarrow{AB}$=-2$\overrightarrow{AC}$+3$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{CQ}$，则$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{CQ}$方向上的投影为$\frac{133\sqrt{205}}{615}$．

Answer 1

分析 根据题目条件得出$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+2\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{CQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），利用$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CQ}}{|\overrightarrow{CQ}|}$即可求解射影，关键是求解
|$\overrightarrow{CQ}$|，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CQ}$即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=-2$\overrightarrow{AC}$+3$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{CQ}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+2\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{CQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），
∵直角三角形ABC中，A为直角，AB=13，AC=3，
∴|$\overrightarrow{CQ}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{CQ}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+{\overrightarrow{CB}}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{205}}{2}$，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CQ}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$$+2\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$$-2\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{6}$（169-4×9）=$\frac{133}{6}$，
∴$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CQ}}{|\overrightarrow{CQ}|}$=$\frac{\frac{133}{6}}{\frac{\sqrt{205}}{2}}$=$\frac{133\sqrt{205}}{615}$
故答案为：$\frac{133\sqrt{205}}{615}$．

点评 本题给出三角形的向量等式，求向量的投影，着重考查了向量的加法法则、向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用等知识，属于中档题