Question

2．已知正项数列{a_n}满足：a₁=2，2S_n=（a_n-1）（a_n+2），n∈N^*，其中S_n为其前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1b_n=a_n，n∈N^*．试证明：$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+…+$\frac{1}{b_n}$＞2$\sqrt{{b_{n+1}}{b_n}}$-2=2（$\sqrt{n+1}$-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=（a_n-1）（a_n+2）可得2S_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+2），n≥2，与原式作差整理即得通项公式
（Ⅱ）由b₁=1，b_n+1b_n=a_n即b_n+1b_n=n+1，所以b₂=2，b_nb_n-1=n（n≥2），得到$\frac{1}{{b}_{n}}$的一个递推式，再利用均值不等式证明不等式

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=（a_n-1）（a_n+2）可得2S_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+2），n≥2，
两式相减得$2{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+{a_n}-{a_{n-1}}⇒（{{a_n}+{a_{n-1}}}）（{{a_n}-{a_{n-1}}-1}）=0$．
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1（n≥2）．
所以数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，故a_n=n+1．…（5分）
（Ⅱ）因为b₁=1，b_n+1b_n=a_n即b_n+1b_n=n+1，所以b₂=2，b_nb_n-1=n（n≥2），
所以b_n+1b_n-b_nb_n-1=1，$⇒\frac{1}{b_n}={b_{n+1}}-{b_{n-1}}$（n≥2），b_n+1≠b_n
当n=1时，$\frac{1}{b_1}=1＞2（\sqrt{2}-1）$，所以当n=1时结论正确．
当n≥2时，$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_1}+（{{b_3}-{b_1}}）+（{{b_4}-{b_2}}）+…+（{{b_n}-{b_{n-2}}}）+（{{b_{n+1}}-{b_{n-1}}}）$=1+（b_n+1+b_n）-b₁-b₂=b_n+1+b_n-2．
由条件易知b_n＞0，所以b_n+1+b_n＞$2\sqrt{{b_{n+1}}{b_n}}=2\sqrt{n+1}$，
所以$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$＞$2\sqrt{{b_{n+1}}{b_n}}-2=2（{\sqrt{n+1}-1}）$．…（13分）

点评 本题主要考查数列通项公式的求解和数列不等式的证明，属于难度较大的题，在高考中可以作为压轴题．