Question

13．已知直线l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线：
①y=-2|x-1|②y=x²③（x-1）²+（y-1）²④x²+3y²=4
其中，可以被称为直线l的“绝对曲线”的是②③④．（请将符合题意的序号都填上）

Answer 1

分析 若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”，分别进行判定是否垂直a即可．

解答 解：①由直线y=ax+1-a，可知此直线过点A（1，1），y=-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x≥1\\ 2x-2，x＜1\end{array}\right.$，
如图所示，
直线l与函数y=-2|x-1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对曲线”；
②y=x²与l：y=ax+1-a联立$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}\\ y=ax+1-a\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}x=a-1\\ y=（a-1）^{2}\end{array}\right.$，
此两个交点的距离 $\sqrt{（a-2）^{2}+（{a}^{2}-2a）^{2}}$=|a|，化为（a-2）²（1+a²）-a²=0，
令f（a）=（a-2）²（1+a²）-a²，则f（1）=2-1=1＞0，f（2）=0-4＜0，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a-2）²（1+a²）-a²=0，有解．
故此函数的图象是“绝对曲线”；
③（x-1）²+（y-1）²=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a=±2满足条件，故此函数的图象是“绝对曲线”；
④把直线y=ax+1-a代入x²+3y²=4得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6a（1-a）}{3{a}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（1-a）^{2}-4}{3{a}^{2}+1}$．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a²=（1+a²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+a²）{ $[\frac{-6a（1-a）}{3{a}^{2}+1}]^{2}$-4×$\frac{3（1-a）^{2}-4}{3{a}^{2}+1}$}，
化为 $\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$-${（\frac{6a+2}{3{a}^{2}+1}）}^{2}$=0，
令f（a）=，而f（1）=$\frac{1}{2}$-4＜0，f（3）=$\frac{9}{10}$-$\frac{25}{49}$＞0．
∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．
故答案为：②③④

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的运用，属于难题．