Question

8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），给出下列结论：
①f（3）=1；②函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，16]上的所有根之和为12．
则其中正确的命题为①④．

Answer 1

分析 对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=-f（1）=1即可判断；
对于③由f（x-4）=f（-x）得f（x-2）=f（-x-2），即f（x）关于直线x=-2对称，
对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[-2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=-2对称，可得函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；
对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．

解答 解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（1）=1，故①的结论正确；
∵f（x-4）=-f（x），则f（x+4）=-f（x），即f（x-4）=f（x+4）
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函数f（x）关于直线x=-2对称，故③的结论不正确；
又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1）为增函数，
∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=-2对称，
∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故②的结论不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故④正确
故答案为：①④．

点评 本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．