Question

17．函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为M；
（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）若不等式$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$≤M，（其中a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得y=|x+1|+|x-2|的最小值M．
（Ⅱ）由条件利用柯西不等式，求得$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$的最大值，再根据此最大值小于或等于M求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵|x+1|+|x-2|≥=|（x+1）-（x-2）|=3，等号成立当且仅当 （x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2时，
∴函数y的最小值M等于3．
（Ⅱ）因为${（\sqrt{a-x}+\sqrt{2}•\sqrt{2+x}）^2}$≤$[{1^2}+{（\sqrt{2}）^2}][a-x+2+x]=3（a+2）$，
当且仅当$\frac{1}{{\sqrt{a-x}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2+x}}}$时，取“=”号，即当$x=\frac{2a-2}{3}∈[-2，a]$时，$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$取得最大值为$\sqrt{3（a+2）}$．
∴要使不等式$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$≤M，只需$\sqrt{3（a+2）}≤3$，解得0＜a≤1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．