Question

12．某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且两人租用的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．
（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为200，300，400，500，600，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答 解：（Ⅰ）甲、乙所付费用可以为100、200元、300元…（1分）
甲、乙两人所付费用都是100元的概率为${P_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$…（2分）
甲、乙两人所付费用都是200元的概率为${P_1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$…（3分）
甲、乙两人所付费用都是300元的概率为${P_1}=（1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$
故甲、乙两人所付费用相等的概率为$P={P_1}+{P_2}+{P_3}=\frac{13}{36}$…（6分）
（Ⅱ）随机变量ξ的取值可以为200，300，400，500，600…（7分）
P（ξ=200）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
P（ξ=300）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{13}{36}$
P（ξ=400）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}+（1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}=\frac{11}{36}$
P（ξ=500）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$
P（ξ=600）=$（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$
故ξ的分布列为：

ξ	200	300	400	500	600
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{36}$

…（11分）
∴ξ的数学期望是$Eξ=200×\frac{1}{6}+300×\frac{13}{36}+400×\frac{11}{36}+500×\frac{5}{36}+600×\frac{1}{36}=350$…（13分）

点评 本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．属于中档题型．