Question

7．如图，在等腰梯形CDFE中，A、B分别为底边DE，CE的中点．AD=2AB=2BC=2．沿AE将AEF折起，使二面角F-AE-C为直二面角，连接CF、DF．

（Ⅰ）证明：平面ACF⊥平面AEF；
（Ⅱ）求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明EF⊥EA；EF⊥AC；然后证明EF⊥平面AECD，说明AC⊥EF，推出AC⊥平面AEF，即可证明平面ACF⊥平面AEF．
（Ⅱ）以E为原点，EC所在直线为x轴，EF所在直线为Z轴建立如图所示的坐标系，求出平面AEF的法向量，
平面FCD的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在等腰梯形CDFE中，由已知条件可得，$CD=AC=AE=EF=\sqrt{2}$，AF=AD=2，
所以，AE²+EF²=AF²，∴EF⊥EA；同理可证，EF⊥AC；…（1分）
在四棱锥F-AECD中，
∵二面角F-AE-C为直二面角，∴平面AEF⊥平面AECD，
∴EF⊥平面AECD，…（2分）
∵AC?平面AECD，∴AC⊥EF，
又∵AC⊥AE，∴AC⊥平面AEF，…（4分）
∴平面ACF⊥平面AEF．…（5分）
（Ⅱ）解：以E为原点，EC所在直线为x轴，EF所在直线为Z轴建立如图所示的坐标系，则A（1，1，0），C（2.0，0），D（3，1，0），$F（0，0，\sqrt{2}）$…．（6分）
则，$\overrightarrow{AC}=（1，-1，0）$.$\overrightarrow{CD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CF}=（-2，0，\sqrt{2}）$，
显然，$\overrightarrow{AC}=（1，-1，0）$为平面AEF的法向量，
设平面FCD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\-2x+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow n$的一个取值为$（1，-1，\sqrt{2}）$…．（9分）
故平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…．（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．