Question

19．已知点A（sinθ，1），B（cosθ，0），C（-sinθ，2），且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$．
（Ⅰ）记函数$f（θ）=\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$，$θ∈（-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$，讨论函数的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设设P（x，y），由向量的坐标运算求出、和的坐标，由和向量相等的充要条件求出x和y，求出的坐标，由向量的数量积运算和三角公式化简，再根据三角函数的单调性
求出f（x）的单调性和值域；
（Ⅱ）根据条件得，代入向量共线的坐标条件，由商的关系求出tanθ，再由二倍角的正弦公式和平方、商的关系将sin2θ用tanθ表示出来并求值，再求出的值．

解答 解：设P（x，y），由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$得  $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$，
即 （cosθ-sinθ，-1）=（x-cosθ，y），
所以 x=2cosθ-sinθ，y=-1，亦即P（2cosθ-sinθ，-1）；
（Ⅰ）$f（θ）=\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}=（sinθ-cosθ，1）•（2sinθ，-1）$=2sin²θ-2sinθcosθ-1=-sin2θ-cos2θ=$-\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）$；
由$θ∈（-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$得$2θ+\frac{π}{4}∈（0，\frac{5π}{4}）$，
所以，当$2θ+\frac{π}{4}∈（0，\frac{π}{2}）$即$θ∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}}]$时，f（θ）单调递减，且$-\sqrt{2}≤f（θ）＜0$，
当$2θ+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}}）$即$θ∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}）$时，f（θ）单调递增，且$-\sqrt{2}≤f（θ）＜1$，
故，函数f（θ）的单调递减区间为$（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}}]$，单调递增区间为$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}）$，
值域为$[{-\sqrt{2}，1}）$．
（Ⅱ）由O、P、C三点共线可知，$\overrightarrow{OP}$∥$\overrightarrow{OC}$，
即 （-1）•（-sinθ）=2•（2cosθ-sinθ），得$tanθ=\frac{4}{3}$，
所以 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{{（sinθ+cosθ）}^2}+1}=\sqrt{2+2sinθcosθ}$=$\sqrt{2+\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=$\sqrt{2+\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

点评 本题是向量与三角函数的综合题，考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等的充要条件，三角恒等变换中公式，涉及的公式多，需要熟练掌握并会灵活运用