Question

8．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．
（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；
（2）求二面角C-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 BCE⊥平面 CDE．
（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C-BE-F的平面角．

解答 （1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE?平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ACD．
在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．
取CE的中点M，连接BM、FM，
由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．
所以BM⊥平面CDE．
又BM?平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）
（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，
则∠NHF就是二面角C-BE-F的平面角．
在Rt△FNH中，NH=$\frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$，FH=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
所以cos∠NHF=$\frac{NH}{FH}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$
故二面角C-BE-F的余弦值为$\frac{3\sqrt{6}}{8}$…（15分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．