Question

20．已知底面边长为$\sqrt{3}$的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为$\frac{9}{4}$，若点P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA₁为PA与平面A₁B₁C₁所成角，即为∠APA₁为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA₁，再利用正三角形的性质可得A₁P，在Rt△AA₁P中，利用tan∠APA₁=$\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}P}$即可得出

解答 解：如图所示，
∵AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴∠APA₁为PA与平面A₁B₁C₁所成角，
∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，∴∠APA₁为PA与平面ABC所成角．
∵S△A₁B₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，．
∴${V}_{三棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=AA₁×S△A₁B₁C₁=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$×AA₁=$\frac{9}{4}$，解得AA₁=$\sqrt{3}$．
又P为底面正三角形A₁B₁C₁的中心，
∴A₁P=$\frac{2}{3}$×A₁D=$\frac{2}{3}$×$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
在Rt△AA₁P中，tan∠APA₁=$\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}P}$=$\sqrt{3}$，
∠APA₁=$\frac{π}{3}$．
故选：B

点评 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键，把空间角转化为平面角问题求解．