Question

10．若点P（x，y）在曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求$\frac{y}{x}$的范围．
（2）若射线θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．

Answer 1

分析 （1）化圆的参数方程为普通方程，利用过原点的圆的切线的斜率求得$\frac{y}{x}$的范围；
（2）化圆的直角坐标方程为极坐标方程，和直线线θ=$\frac{π}{4}$联立后，利用根与系数的关系求解．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，得（x-2）²+y²=3，
如图，

设过原点的直线方程为y=kx，由圆心（2，0）到直线的距离为$\sqrt{3}$，得
$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{3}$，即$k=±\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的范围为[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]；
（2）曲线C的极坐标方程可化为ρ²-4ρcosθ+1=0，
把θ=$\frac{π}{4}$代入上式可得：${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρ+1=0$，
设A，B两点的极径分别为ρ₁，ρ₂，则${ρ}_{1}+{ρ}_{2}=2\sqrt{2}$．
故|OA|+|OB|=${ρ}_{1}+{ρ}_{2}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．