Question

2．已知函数f（x）=x³+bx²+cx，对任意的b，c∈[-3，3]．f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 求导数，确定f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值，对应的区域的面积，b，c∈[-3，3]，对应区域的面积，即可求出f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值的概率．

解答 解：由题意f′（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0的两个根在（-1，1）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{b}^{2}-12c＞0}\\{-1＜-\frac{b}{3}＜1}\\{3-2b+c＞0}\\{3+2b+c＞0}\end{array}\right.$，对应区域的面积为2${∫}_{0}^{3}（\frac{1}{3}{b}^{2}-2b+3）$=$（\frac{1}{9}{b}^{3}-{b}^{2}+3b）{|}_{0}^{3}$=6，
∵b，c∈[-3，3]，
∴对应区域的面积为36，
∴f（x）在（-1，1）内既有极大值又有极小值的概率为$\frac{1}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查函数的极值，考查导数知识的运用，考查概率的计算，确定区域，正确求面积是关键．