Question

11．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，且S₃=7，且a₁，a₂，a₃-1成等差数列；数列{b_n}的前n项和为T_n，6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N⁺．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设集合A={a₁，a₂，…，a₁₀}，B={b₁，b₂，…，b₄₀}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用把已知等式列方程可求得公比和首项，则数列的通项可得．
（Ⅱ）根据题意先求得$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$的表达式，利用叠乘法求得通项．
（Ⅲ）先分别求得两个集合元素的和，进而找到他们公有的元素减去即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意知a₁+a₂+a₃=7   ①
∵a₁，a₂，a₃-1成等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃-1②，
②-①求得a₂=2，即a₁q=2，③
又由①得a₁+a₁q²=5，④
消去a₁得2q²-5q+2=0，求得q=2或$\frac{1}{2}$（舍去），
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵6T_n=（3n+1）b_n+2，①
当n≥2时，6T_n-1=（3n-2）b_n-1+2，②
①-②得6b_n=（3n+1）b_n-（3n-2）b_n-1，
即$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{3n-2}{3n-5}$，
∴$\frac{{b}_{2}}{b1}$=$\frac{4}{1}$，$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=$\frac{7}{4}$，$\frac{{b}_{4}}{{b}_{3}}$=$\frac{10}{7}$…
∴$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{4}{1}$×$\frac{7}{4}$×$\frac{10}{7}$×…×$\frac{3n-2}{3n-5}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{1}}$=3n-2
∵b₁=1
∴b_n=3n-2，
（Ⅲ）S₁₀=$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$=2¹⁰-1=1023，T₄₀=3×$\frac{40×41}{2}$-80=2380，
∵A和B的公共元素为1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中所有元素之和为S₁₀+T₄₀-85=3318．

点评 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．