Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，a_n=$\frac{3n{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+n-1}$（n≥2，n∈N）．
（1）证明数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：a₁a₂…a_n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{3n{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+n-1}$（n≥2，n∈N）．两边取倒数：即可化为$\frac{n}{{a}_{n}}-1$=$\frac{1}{3}（\frac{n-1}{{a}_{n-1}}-1）$，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）欲证原结论，只需证$\frac{1}{2}$＜$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{3}}）$•…•$（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$，先用数学归纳法证：$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{3}}）$•…•$（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$≥$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{n}}$，即可得出．

解答 证明：（1）由a_n=$\frac{3n{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+n-1}$（n≥2，n∈N）．两边取倒数：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3n}+\frac{n-1}{3n{a}_{n-1}}$，化为$\frac{n}{{a}_{n}}-1$=$\frac{1}{3}（\frac{n-1}{{a}_{n-1}}-1）$，
∴数列$\{\frac{n}{{a}_{n}}-1\}$是首项$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=-$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$等比数列，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$-1=$-（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$．
（2）欲证原结论，只需证$\frac{1}{2}$＜$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{3}}）$•…•$（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$，
现先用数学归纳法证：$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{3}}）$•…•$（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$≥$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{n}}$，（*）
当n=1时，左右两边显然相等．
假设n=k时，$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{3}}）$•…•$（1-\frac{1}{{3}^{k}}）$≥$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{k}}$，
则n=k+1时，$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{3}}）$•…•$（1-\frac{1}{{3}^{k}}）$$•（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$≥（$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$，
∵（$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$=$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{k}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$•$（\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{k}}）$
=$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{k}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$$•\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{k}}）}{1-\frac{1}{3}}$≥$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$．
由数学归纳法可知：（*）对于?n∈N^*都成立．
又$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$-…-$\frac{1}{{3}^{n}}$=1-$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=1-$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$＞$\frac{1}{2}$，
故原命题成立．

点评 本题考查了“取倒数法”、等比数列的通项公式、“数学归纳法”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．