Question

16．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=$\sqrt{6}$，AD=1，CD=3，PD=$\sqrt{3}$．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz-----1’
则B（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2，0），P（0，-1，$\sqrt{3}$）----2’
于是$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{2}$，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，2，0），
∵$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，-1，$\sqrt{3}$）•（-$\sqrt{2}$，2，0）=2-2=0，
∴$\overrightarrow{BP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即BP⊥BC，-------------5’
∴△PBC为直角三角形------------------6’
（2）由（1）可得，A（0，-2，0）
于是$\overrightarrow{AP}$=（0，1，$\sqrt{3}$），---------------------7’
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}$，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{3y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，则z=$\sqrt{3}$，x=$\sqrt{2}$，
∴平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，$\sqrt{3}$）-------------------------------------------10’
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则θ=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$--------------12’
则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$-------------------------------------13’

点评 本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．