Question

4．已知函数f（x）的导函数f′（x）=5+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，若f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x取值的集合是（0，1）．

Answer 1

分析 由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x-2）+f（x²-2x）＞0转化成f（x-2）＞f（2x-x²），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．

解答 解：∵f′（x）=5+cosx，知f（x）=5x+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．
即f（x）=5x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f′（x）=5+cosx在x∈（0，1）恒大于0，
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的．
由 f（1-x）+f（1-x²）＜0 可得 f（1-x）＜f（x²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-x＜{x}^{2}-1}\\{-1＜1-x＜1}\\{-1＜{x}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜$\sqrt{2}$．
故实数x的集合是：（0，1）
故答案为：（0，1）．

点评 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题．