Question

15．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d，x∈R，F（x）=f（x）-f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，若F（x）为奇函数，且F（1）=t，t为常数，t∈R．
（1）讨论F（x）的单调性和极值；
（2）当t=-26时，方程F（x）=m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出f′（x）代入F（x）化简，由奇函数的性质和条件求出b、c、d，再求出F（x）和F′（x），对t分类讨论并利用导数的符号，求出F（t）的单调性和对应极值；
（2）把t=-26代入F（x）的解析式，由（1）可得F（x）的单调性和极值，再将方程的解转化为图象的交点问题，从而求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=3x²+2bx+c，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x+d-c，
∵F（x）是奇函数，∴b-3=0，且d-c=0，即b=3，d=c．
∴F（x）=x³+（c-6）x，
∵F（1）=t，∴1+（c-6）=t，则d=c=t+5，
则F（x）=x³+（t-1）x，即F′（x）=3x²+（t-1），
①当t≥1时，F′（x）≥0，则F（x）在（-∞，+∞）上递增，无极值；
②当t＜1时，由F′（x）=0得，x=$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$或$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，
当x∈（$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）时，F′（x）＜0；当x∈（-∞，$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）或（$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，+∞）F′（x）＞0，
所以F（x）在（$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）上递减，在（-∞，$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）、（$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，+∞）上递增，
则函数F（x）的极大值是$F（-\sqrt{\frac{1-t}{3}}）=-（\frac{1-t}{3}）^{3}+（t-1）×（-\sqrt{\frac{1-t}{3}}）=\frac{2}{9}（1-t）\sqrt{3（1-t）}$，
函数F（x）的极小值是$F（\sqrt{\frac{1-t}{3}}）=-\frac{2}{9}（1-t）\sqrt{3（1-t）}$；
（2）当t=-26时，F（x）=x³-27x，
由（1）可知，F（x）在（-3，3）上单调递减，在（-∞，-3）、（3，+∞）上单调递增，
所以函数F（x）的极大值是F（-3）=54，函数F（x）的极小值是F（3）=-54，
因为方程F（x）=m有三个不同的实数解，
所以函数y=F（x）和y=m的图象有三个不同的交点，
故实数m的取值范围是（-54，54）．

点评 本题考查了函数的导数与函数的单调性、极值、最值的关系，方程的根转化问题，以及分类讨论思想、转化思想，属于中档题．