Question

9．已知{x_n}满足${x_n}=\sqrt{2+\root{3}{{3+\root{4}{{4+…+\root{n}{n}}}}}，}（n≥2，n∈{N_+}）$．
（Ⅰ）设数列{a_i}满足${a_i}=\root{i}{{i+\root{（i+1）}{{（i+1）+…+\root{（n+1）}{n+1}}}}}，（i=2，3，4，…，n+1）$，设数列{b_i}满足${b_i}=\root{i}{{i+\root{（i+1）}{{（i+1）+…+\root{n}{n}}}}}，（i=2，3，4，…，n），{b_{n+1}}=0$．
求证：${a_i}^i-{b_i}^i={a_{i+1}}-{b_{i+1}}$（i=2，3，4，…，n）；
（Ⅱ）求证：${x_n}＜\sqrt{2}+1，（n≥2，n∈{N_+}）$．
（参考公式：xⁿ-yⁿ=（x-y）•（x^n-1+x^n-2y+x^n-3y²+…+y^n-1），（n∈N₊））

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件，分类讨论，即可证明结论；
（Ⅱ）证明$\frac{{a}_{i+1}-{b}_{i+1}}{{a}_{i}-{b}_{i}}$＞$i•i\frac{i-1}{i+1}$，由叠乘可得$\frac{{a}_{n+1}-{b}_{n+1}}{{a}_{2}-{b}_{2}}$＞$（n!）•{n}^{\frac{n-1}{n+1}}$•…•${2}^{\frac{1}{3}}$，所以a₂-b₂＜$\frac{（n+1）^{\frac{1}{n+1}}}{（n!）•{n}^{\frac{n-1}{n+1}}}$=$\frac{1}{n!}•（\frac{n+1}{{n}^{n-1}}）^{\frac{1}{n+1}}$＜$\frac{1}{n!}$（n≥3），其中n≥3时，$\frac{n+1}{{n}^{n-1}}$＜$\frac{2n}{{n}^{2}}$＜1显然成立．a₂-b₂=x_n+1-x_n，所以x_n+1-x_n＜$\frac{1}{n!}$（n≥3），n=2时，x₃-x₂=$\sqrt{2+\root{3}{3}}$-$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2！}$，可得x_n+1-x_n＜$\frac{1}{n!}$（n≥2），由叠加法可得x_n-x₂＜$\frac{1}{（n-1）!}$+…+$\frac{1}{2！}$（n≥3），再利用放缩，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）i=2，3，…，n-1时，a_iⁱ-b_iⁱ=$\root{i+1}{（i+1）+…\root{n+1}{n+1}}$-$\root{i+1}{（i+1）+…+\root{n}{n}}$=a_i+1-b_i+1，
i=n时，a_nⁿ-b_nⁿ=a_n+1=a_n+1-b_n+1，
所以${a_i}^i-{b_i}^i={a_{i+1}}-{b_{i+1}}$（i=2，3，4，…，n）；
（Ⅱ）a_i+1-b_i+1=a_iⁱ-b_iⁱ=（a_i-b_i）（a_i^i-1+a_i^i-2b_i+…+b_i^i-1），
所以$\frac{{a}_{i+1}-{b}_{i+1}}{{a}_{i}-{b}_{i}}$=a_i^i-1+a_i^i-2b_i+…+b_i^i-1，
因为a_i＞b_i＞$\root{i}{i}$，
所以a_i^i-1+a_i^i-2b_i+…+b_i^i-1≥${i}^{\frac{i-1}{i}}$+${i}^{\frac{i-2}{i}}•{i}^{\frac{1}{i}}$+…+${i}^{\frac{i-1}{i}}$=$i•{i}^{\frac{i-1}{i}}$＞$i•i\frac{i-1}{i+1}$，（i=2，3，…，n）
所以$\frac{{a}_{i+1}-{b}_{i+1}}{{a}_{i}-{b}_{i}}$＞$i•i\frac{i-1}{i+1}$
由叠乘可得$\frac{{a}_{n+1}-{b}_{n+1}}{{a}_{2}-{b}_{2}}$＞$（n!）•{n}^{\frac{n-1}{n+1}}$•…•${2}^{\frac{1}{3}}$
所以a₂-b₂＜$\frac{（n+1）^{\frac{1}{n+1}}}{（n!）•{n}^{\frac{n-1}{n+1}}}$=$\frac{1}{n!}•（\frac{n+1}{{n}^{n-1}}）^{\frac{1}{n+1}}$＜$\frac{1}{n!}$（n≥3），其中n≥3时，$\frac{n+1}{{n}^{n-1}}$＜$\frac{2n}{{n}^{2}}$＜1显然成立．
a₂-b₂=x_n+1-x_n，所以x_n+1-x_n＜$\frac{1}{n!}$（n≥3），n=2时，x₃-x₂=$\sqrt{2+\root{3}{3}}$-$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2！}$，
所以x_n+1-x_n＜$\frac{1}{n!}$（n≥2），
由叠加法可得x_n-x₂＜$\frac{1}{（n-1）!}$+…+$\frac{1}{2！}$（n≥3），
因为x₂=$\sqrt{2}$，
所以x_n＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{（n-1）!}$+…+$\frac{1}{2！}$（n≥3），
因为$\frac{1}{k!}$=$\frac{1}{k（k-1）…3•2•1}$≤$\frac{1}{{2}^{k-1}}$，
所以x_n＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{（n-1）!}$+…+$\frac{1}{2！}$≤$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$＜$\sqrt{2}$+1，
所以x_n＜$\sqrt{2}$+1（n≥3），
因为x₂=$\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}$+1，
所以x_n＜$\sqrt{2}$+1（n≥2）．

点评 本题考查不等式的证明，考查叠加法、叠乘法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．