Question

4．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2（n∈N^*），且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和；
（Ⅱ）设数列$\left\{\frac{1}{{S}_{n}}\right\}$的前n项和为T_n，证明：${T}_{n}≤\frac{3}{4}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和等差数列的定义判断出数列{a_n}是等差数列，由等比中项的性质和条件列出方程，求出首项a₁，代入等差数列的通项公式、前n项和公式化简；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出$\frac{1}{{S}_{n}}$并化简，利用裂项相消法求出T_n，由n的取值范围即可证明结论成立．

解答 解：（Ⅰ）由${a}_{n+1}-{a}_{n}=2（n∈{N}^{*}）$得，数列{a_n}是以2为公差的等差数列，
∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，∴${a}_{1}（{a}_{1}+24）=（{a}_{1}+6）^{2}$，
解得a₁=3，
则a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}•2$=n²+2n；
（Ⅱ）由（I）得，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$$≤\frac{3}{4}$
则${T}_{n}≤\frac{3}{4}$成立．

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，以及裂项相消法求数列的和，是数列与不等式结合的题，属于中档题．