Question

19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根据题意得出g（x）为偶函数，且x＞0时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
讨论x＞0、x＜0和x=0时，不等式f（x）＞x的解集情况，求出解集即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∴g（x）为偶函数，
又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），
∴g′（x）=$\frac{f′（x）•x-f（x）}{{x}^{2}}$＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；
又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；
当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，
∴$\frac{f（x）}{x}$＞1，即g（x）＞g（1），
∴有x＞1；
当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，
∴$\frac{f（x）}{x}$＜1，即g（x）＜g（-1），
∴有-1＜x＜0；
当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；
综上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了构造函数的应用问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．