Question

9．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为A的正三角形，点M在边BC上，△AMC₁是以M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线A₁B∥平面AMC₁；
（2）求三棱锥C₁-AB₁M的高．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C₁M且AM=C₁M，根据三垂线定理可知AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，证得点M为BC边的中点，连接A₁C，交AC₁于点N，连接MN，则N为A₁C的中点，可得MN∥A₁B，即可证明直线A₁B∥平面AMC₁；
（2）利用${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-{B}_{1}M{C}_{1}}$，求三棱锥C₁-AB₁M的高．

解答 （1）证明：∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC
∴C₁M在底面内射影为CM，AM⊥CM．
∵底面ABC为边长为a的正三角形，
∴点M为BC边的中点
连接A₁C，交AC₁于点N，连接MN，则N为A₁C的中点
∴MN∥A₁B，
∵MN?平面AMC₁，A₁B?平面AMC₁，∴A₁B∥平面AMC₁；
（2）解：设三棱锥C₁-AB₁M的高为h，
∵AM⊥平面B₁BCC₁，∴${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-{B}_{1}M{C}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{3}{8}{a}^{2}h=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．．

点评 本题主要考查了点线的位置关系，以及点到平面的距离的计算，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．