Question

8．如图一个倒三角形数表：
它的排列规则是：第i（i=2，…，101）行的第j（j=1，2，…，102-i）个数a_i．j=$\frac{{a}_{i-1，j}+{a}_{i-1，j+1}}{2}$，现设a_1．j=x^j-1（j=1，2，…，101），其中x＞0，若a_101.1=$\frac{1}{{2}^{50}}$，则x=（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由已知中a_1．j=x^j-1（j=1，2，…，101），a_i．j=$\frac{{a}_{i-1，j}+{a}_{i-1，j+1}}{2}$，可得a_i．1=（$\frac{x+1}{2}$）^i-1，再由x＞0，a_101.1=$\frac{1}{{2}^{50}}$，可得答案．

解答 解：∵a_1．j=x^j-1（j=1，2，…，101），
∴a_1.1=1，a_1.2=x，a_1.3=x²，a_1.4=x³，…，a_1.101=x¹⁰⁰，
a_2.1=$\frac{x+1}{2}$，a_2.2=$\frac{x+1}{2}$•x，a_2.3=$\frac{x+1}{2}$•x²，a_2.4=$\frac{x+1}{2}$•x³，…，a_2.100=$\frac{x+1}{2}$•x⁹⁹，
a_3.1=（$\frac{x+1}{2}$）²，a_3.2=（$\frac{x+1}{2}$）²•x，a_3.3=（$\frac{x+1}{2}$）²•x²，a_3.4=（$\frac{x+1}{2}$）²•x³，…，a_3.99=（$\frac{x+1}{2}$）²•x⁹⁸，
a_4.1=（$\frac{x+1}{2}$）³，a_4.2=（$\frac{x+1}{2}$）³•x，a_4.3=（$\frac{x+1}{2}$）³•x²，a_4.4=（$\frac{x+1}{2}$）³•x³，…，a_4.98=（$\frac{x+1}{2}$）³•x⁹⁷，
…
a_99.1=（$\frac{x+1}{2}$）⁹⁸，a_99.2=（$\frac{x+1}{2}$）⁹⁸•x，a_99.3=（$\frac{x+1}{2}$）⁹⁸•x²，
a_100.1=（$\frac{x+1}{2}$）⁹⁹，a_100.2=（$\frac{x+1}{2}$）⁹⁹•x，
a_101.1=（$\frac{x+1}{2}$）¹⁰⁰，
又由a_101.1=$\frac{1}{{2}^{50}}$，
∴（$\frac{x+1}{2}$）¹⁰⁰=$\frac{1}{{2}^{50}}$，
解得：x+1=±$\sqrt{2}$，
即x=$\sqrt{2}$-1，或x=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
故选：A

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．