Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{{2^{{x^2}-2ax+a}}-1}$．当a=1时不等式f（x）≥1的解集是（-∞，0]∪[2，+∞）；若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，1]．

Answer 1

分析 ①a=1时，不等式f（x）≥1化为$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2x+1}-1}$≥1，求出不等式的解集即可；
②根据f（x）的定义域为R，得出${2}^{{x}^{2}-2ax+a}-1$≥0恒成立，即x²-2ax+a≥0恒成立，化为△≤0，求出a的取值范围．

解答 解：①a=1时，f（x）=$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2x+1}-1}$；
不等式f（x）≥1为
$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2x+1}-1}$≥1，
即${2}^{{（x-1）}^{2}}$-1≥1，
∴${2}^{{（x-1）}^{2}}$≥2，
即（x-1）²≥1，
解得x≤0，或x≥2，
∴该不等式的解集为（-∞，0]∪[2，+∞）；
②∵f（x）=$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2ax+a}-1}$的定义域为R，
∴${2}^{{x}^{2}-2ax+a}-1$≥0恒成立，
即${2}^{{x}^{2}-2ax+a}$≥1恒成立，
∴x²-2ax+a≥0恒成立；
即△=4a²-4a≤0，
解得0≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[0，1]．
故答案为：（-∞，0]∪[2，+∞），[0，1]．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．