Question

17．已知两个无穷数列{a_n}，{b_n}分别满足|a_n+1-a_n|=2，b${\;}_{n+1}^{2}$=4b${\;}_{n}^{2}$，且a₁=1，b₁=-1．
（1）若数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足：存在唯一的正整数r（r∈N^*），使得c_r+1＜c_r，称数列{c_n}为“梦r数列”；设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，
①若数列{a_n}为“梦5数列”，求S_n；
②若{a_n}为“梦r₁数列”，{b_n}为“梦r₂数列”，是否存在正整数m，使得S_m+1=T_m，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-a_n=2，${b_2}=-2{b_1}，{b_{n+2}}=2{b_{n+1}}，n∈{N^*}$，判断得出调查网，等比数列即可求解通项公式．
（2）①根据题目条件判断：数列{a_n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，
求解S_n即可．
②运用数列{b_n}为“梦数列”且b₁=-1，综合判断数列{b_n}中有且只有两个负项．
假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，而{a_n}中各项均为奇数，即可得出；m必为偶数． 再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．

解答 解：（1）数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，
∴a_n+1-a_n=2，${b_2}=-2{b_1}，{b_{n+2}}=2{b_{n+1}}，n∈{N^*}$，
∴a_n=2n-1，${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-1，n=1\\{2^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$；                            
（2）①∵数列{a_n}满足：存在唯一的正整数r=5，使得a_r+1＜a_r，且|a_n+1-a_n|=2，
∴数列{a_n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，
故${S_n}=\left\{\begin{array}{l}{n^2}，n≤5\\{n^2}-4n+20，n≥6\end{array}\right.$；                                   
②∵$b_{n+1}^2=4{b_n}^2$即b_n+1=±2b_n，
∴$|{b_n}|={2^{n-1}}$，
而数列{b_n}为“梦数列”且b₁=-1，
∴数列{b_n}中有且只有两个负项．
假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，而{a_n}中各项均为奇数，
∴m必为偶数．                                                
首先证明：m≤6．
若m＞7，数列{a_n}中${（{{S_{m+1}}}）_{max}}=1+3+…+（{2m+1}）={（m+1）^2}$，
而数列{b_n}中，b_m必然为正，否则${T_m}=-1+{b_2}+…+（{-{2^{m-1}}}）≤-1+{2^1}+…+{2^{m-2}}+（{-{2^{m-1}}}）=-3＜0$，显然矛盾；（※）
∴${（{T_m}）_{min}}=-1+{2^1}+…+（{+{2^{m-3}}}）+（{-{2^{m-2}}}）+{2^{m-1}}={2^{m-1}}-3$，
设${c_m}={2^{m-1}}-{（m+1）^2}-3$，
易得${d_m}={c_{m+1}}-{c_m}={2^{m-1}}-2m-3$，
而${d_{m+1}}-{d_m}={2^{m-1}}-2＞0$，（m＞7），
∴{d_m}（m＞7）为增数列，且d₇＞0进而{c_m}（m＞7）为增数列，而c₈＞0，
∴（T_m）_min＞（S_m）_max，
即m≤6．                                                     
当m=6时，构造：{a_n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b_n}为-1，2，4，8，-16，32，64，…
此时r₁=2，r₂=4
所以m_max=6，对应的r₁=2，r₂=4．

点评 本题综合考查了学生运用新定义，求解数列的问题，结合不等式，函数的思想求解，考查了分析问题，解决问题的能力，属于难题．