Question

7．已知两条直线l₁：y=m和l₂：y=$\frac{4}{m+1}$（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象由左到右相交于点A，B，l₂ 与函数y=|log₂x|的图象由左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，$\frac{b}{a}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 通过设各点横坐标分别为x_A、x_B、x_C、x_D，依题意可求得x_A、x_B、x_C、x_D的值，利用a=|x_A-x_C|、b=|x_B-x_D|及基本不等式可求得当m变化时$\frac{b}{a}$的最小值．

解答 解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则-log₂x_A=m，log₂x_B=m；
-log₂x_C=$\frac{4}{m+1}$，log₂x_D=$\frac{4}{m+1}$；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=${2}^{-\frac{4}{m+1}}$，x_D=${2}^{\frac{4}{m+1}}$．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{|{x}_{B}-{x}_{D}|}{|{x}_{A}-{x}_{C}|}$=|$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{4}{m+1}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{4}{m+1}}}$|=2^m•${2}^{\frac{4}{m+1}}$=${2}^{m+\frac{4}{m+1}}$．
又m＞0，∴m+$\frac{4}{m+1}$=（m+1）+$\frac{4}{m+1}$-1≥2$\sqrt{（m+1）•\frac{4}{m+1}}$-1=3（当且仅当m=1时取“=”），
∴$\frac{b}{a}$≥2³=8，
故选：C．

点评 本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到$\frac{b}{a}$=$\frac{|{x}_{B}-{x}_{D}|}{|{x}_{A}-{x}_{C}|}$是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，注意解题方法的积累，属于难题．