Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁是矩形，截面A₁BC是等边三角形．
（Ⅰ）求证：AB=AC；
（Ⅱ）若AB⊥AC，三棱柱的高为1，求C₁点到截面A₁BC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点O，连OA，OA₁．证明BC⊥平面A₁OA，即可证明：AB=AC；
（Ⅱ）利用等体积法，即可求C₁点到截面A₁BC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA₁．
因为侧面BCC₁B₁是矩形，所以BC⊥BB₁，BC⊥AA₁，
因为截面A₁BC是等边三角形，所以BC⊥OA₁，
所以BC⊥平面A₁OA，BC⊥OA，因此，AB=AC．…（5分）
（Ⅱ）解：设点A到截面A₁BC的距离为d，
由V_A-A1BC=V_A1-ABC得S_△A1BC×d=S_△ABC×1，
得BC×OA₁×d=BC×OA×1，得d=$\frac{OA}{OA1}$．
由AB⊥AC，AB=AC得OA=$\frac{1}{2}$BC，
又OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，故d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因为点A与点C₁到截面A₁BC的距离相等，
所以点C₁到截面A₁BC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．