Question

13．已知双曲线C₁：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为2，若抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离是2，则抛物线C₂的方程是（　　）

• A． y²=8x
• B． y²=$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$x
• C． y²=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$x
• D． y²=16x

Answer 1

分析 通过双曲线C₁的离心率为2，可知3a²=b²，利用点到直线的距离公式可得p=6，进而可得结论．

解答 解：∵双曲线C₁：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=2，即3a²=b²，
∴双曲线C₁的渐近线方程为：ax±by=0，
又∵抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离是2，
∴2=$\frac{a•\frac{p}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，解得p=8，
∴抛物线C₂的方程为：y²=16x，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．