Question

8．若不等式kx²-2x+1-k＜0对满足-2≤k≤2的所有k都成立，则x的取值范围是（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 构造函数f（k）=kx²-2x+1-k，把f（k）看作关于k的一次函数，
根据题意列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，求出x的取值范围即可．

解答 解：设f（k）=kx²-2x+1-k=k（x²-1）-2x+1，
f（k）可看作关于k的一次函数，
∵不等式kx²-2x+1-k＜0对任意k∈[-2，2]时均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\\{{2x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}，或x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴x的取值范围为（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，考查了等价转化问题以及推理应用与计算能力，是综合性题目．