Question

18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出结论；
（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×$\frac{40}{120}$=2（人）；30～40（岁）抽取：6×$\frac{80}{120}$=4（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在20～30岁之间的概率．

解答 解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，

	正确	错误	合计
20～30（岁）	10	30	40
30～40（岁）	10	70	80
合计	20	100	120

…（3分）
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k²=$\frac{120×（10×70-10×30）^{2}}{20×100×40×80}$=3
∵3＞2.706…（5分）
∴有1-0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（6分）
（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×$\frac{40}{120}$=2（人）；
30～40（岁）抽取：6×$\frac{80}{120}$=4（人） …（7分）
在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…（8分）
年龄在20～30（岁）记为（A，B）；
年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），
则从6名选手中任取3名的所有情况为：
（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、
（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、
（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、
（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…（9分）
其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：
（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、
（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、
（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…（10分）
记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$ …（11分）
∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为$\frac{4}{5}$．…（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查分层抽样，考查概率知识，考查学生分析解决问题的能力，确定基本事件总数是关键．