Question

13．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出 导函数，根据1和-1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．
（2）由（1）得f（x）=x³-3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．
（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx，
得f′（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点，
∴f′（x）=3+2a+b=0，f′（-1）=3-2a+b=0，
解得a=0，b=-3．
（2）∵由（1）得，f（x）=x³-3x．
∴g′（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2），
解得x₁=x₂=1，x₃=-2．
∵当x＜-2时，g′（x）＜0；
当-2＜x＜1时，g′（x）＞0，
∴x=-2是g（x）的极值点．
∵当-2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，
∴x=1不是g（x）的极值点．
∴g（x）的极值点是-2．
（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c．
先讨论关于x 的方程f（x）=d 根的情况：d∈[-2，2]
当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，
∴f（x）=2的两个不同的根为1和2．
当|d|＜2时，
∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0，
∴-2，-1，1，2 都不是f（x）=d的根．
由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）．
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．
此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．
②当x∈（1，2）时．f（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．
又∵f（1）-d＜0，f（2）-d＞0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d 在（1，2 ）内有唯一实根．
同理，f（x）=d在（-2，-1 ）内有唯一实根．
③当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减两数．
又∵f（-1）-d＞0，f（1）-d＜0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（-1，1 ）内有唯一实根．
因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x₁，x₂满足|x₁|=1，|x₂|=2；
当|d|＜2 时，f（x）=d有三个不同的根x₃，x₁，x₅，满足|x_i|＜2，i=3，4，5．
现考虑函数y=h（x）的零点：
（ i ）当|x|=2时，f（t）=c有两个根t₁，t₂，满足|t₁|=1，|t₂|=2．
而f（x）=t₁有三个不同的根，f（x）=t₂有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．
（ ii ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t₃，t₄，t₅，满足|t_i|＜2，i=3，4，5．
而f（x）=t_i（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9 个零点．
综上所述，当时|c|=2，函数y=h（x）有5 个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．