Question

6．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x））（x），n∈N₊，猜想g_n（x）的表达式；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，可得g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=$\frac{x}{1+2x}$，g₃（x）=$\frac{x}{1+3x}$，
即可猜想出g_n（x）．
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$（x＞-1），可得h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x-（a-1）}{（1+x）^{2}}$，
对a分类讨论：利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）由已知g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=$\frac{x}{1+2x}$，g₃（x）=$\frac{x}{1+3x}$，
猜想g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$（x＞0），
则h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x-（a-1）}{（1+x）^{2}}$，
①当a≤1时，即a-1≤0时，x∈[0，+∞），h′（x）≥0，（仅当x=0，a=1时等号成立），∴h（x）在[0，+∞）上单调递增．
故当x∈（0，+∞）时，h（x）≥h（0）=0．
即a≤1时，f（x）≥ag（x）恒成立．
②当a＞1时，a-1＞0时，若x∈[0，a-1），则h′（x）＜0，
∴h（x）在区间[0，a-1）上单调递减．
故h（a-1）＜h（0）=0．
即a＞1时，存在x∈[0，+∞）使h（x）＜0．
即f（x）≥ag（x）不恒成立．
综上可知：a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．