Question

15．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）=a，P（1＜ξ≤3）=b，则函数$f（a）=\frac{{{a^2}+a-1}}{a+1}$的值域是$（-1，-\frac{1}{6}）$．

Answer 1

分析 根据条件确定a的范围，令$t=a+1∈（1，\frac{3}{2}）$，函数$f（a）=g（t）=t-\frac{1}{t}-1$在$t∈（1，\frac{3}{2}）$上是增函数，即可求出函数$f（a）=\frac{{{a^2}+a-1}}{a+1}$的值域．

解答 解：因为随机变量ξ服从正态分布N（2，9），
所以正态曲线关于直线x=2对称，所以P（ξ＞3）=P（ξ＜1）=a，
则有$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ a＞0，b＞0\end{array}\right.⇒0＜a＜\frac{1}{2}$，$f（a）=a-\frac{1}{a+1}=（a+1）-\frac{1}{a+1}-1$，
令$t=a+1∈（1，\frac{3}{2}）$，函数$f（a）=g（t）=t-\frac{1}{t}-1$在$t∈（1，\frac{3}{2}）$上是增函数，
所以$g（t）∈（g（1），g（\frac{3}{2}））=（-1，-\frac{1}{6}）$．
故答案为：$（-1，-\frac{1}{6}）$．

点评 本题考查正态曲线的性质，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．