Question

5．设函数f（x）=x²-2lnx．求：
（1）f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]时，不等式f（x）＞m²+m+1恒成立，求实数m的取值范围．
（2）若关于x的方程f（x）=3x+a在的区间[1，3]上有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞m²+m+1恒成立，只需f（x）_min＞m²+m+1即可．转化为求函数最小值．利用导数工具求解；
（2）方程f（x）=3x+a变形为x²-2lnx-3x-a=0，令g（x）=x²-2lnx-3x-a（x＞0），要求g（x）在区间[1，3]上恰好有两个相异的零点．通过g（x）的单调性及最值，极值求解．

解答 解：（1）由题意知在[$\frac{1}{e}$，e]时，不等式f（x）＞m²+m+1恒成立，
∴f（x）_min＞m²+m+1，对x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
∴令f′（x）=0得x=1或-1（舍），
当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	$\frac{1}{{e}^{2}}$+2	减	极小值f（1）	增	e2-2

∴f（x）_min=f（1）=1，
即有m²+m+1＜1，解得-1＜m＜0．
∴实数m的取值范围是（-1，0）；
（2）依题意：关于x的方程f（x）=3x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，
即方程x²-2lnx=3x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根．
∴化简得方程x²-2lnx-3x-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，
令g（x）=x²-2lnx-3x-a，（x＞0）
∴g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$-3=$\frac{（2x+1）（x-2）}{x}$，
令g′（x）=0，得x=2，
∴当x∈（0，2）时，g′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0．
∴函数g（x）在区间（0，2）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数
∴要使方程x²-2lnx-3x-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-2-a＞0}\\{-2-2ln2-a＜0}\\{-2ln3-a＞0}\end{array}\right.$，
解得-2-2ln2＜a＜-2ln3
∴实数a的取值范围是（-2-2ln2，-2ln3）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问题，函数与方程思想，属于中档题．