Question

5．若非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥$\overline{a}$，（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知得到$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$与$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的关系，代入数量积公式得答案．

解答 解：由（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥$\overline{a}$，（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{b}$，得
（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）•$\overline{a}$=0，（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{b}$=0，即
$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}，|\overrightarrow{b}{|}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
则$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}=\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直和数量积间的关系，是基础题．