Question

8．已知a，b，c∈R，abc≠0，方程ax²+bx+c=0有虚根z，且z³∈R，求证：a、b、c成等比数列．

Answer 1

分析 设出方程的根，通过复数的实部与虚部的关系化简推出数列是等比数列即可．

解答 解：a，b，c∈R，abc≠0，方程ax²+bx+c=0有虚根z，且z³∈R，
由1的立方虚根，可设z=-$\frac{1}{2}$r±$\frac{\sqrt{3}}{2}ri$，|实部|与|虚部|的比为1：$\sqrt{3}$．
由求根公式可得：z=$\frac{-b±\sqrt{4{ac-b}^{2}}i}{2a}$，
可得：$\sqrt{4{ac-b}^{2}}=\sqrt{3}\left|b\right|$，
两边平方可得：4ac-b²=3b²，
即ac=b²
所以a、b、c成等比数列．

点评 本题考查等比数列的判定，方程的根的求法，考查计算能力．