Question

19．设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（$\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}$），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得$\frac{\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-m}$=-3，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
分别与x-3y+m=0（m≠0）联立，解得A（-$\frac{am}{a-3b}$，-$\frac{bm}{a-3b}$），B（-$\frac{am}{a+3b}$，$\frac{bm}{a+3b}$），
∴AB中点坐标为（$\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}$），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，
∴$\frac{\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-m}$=-3，
∴a=2b，
∴c=$\sqrt{5}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．