Question

10．已知$\frac{{f}^{′}（x）}{a（x+1）（x-a）}$是函数 f（x）的导函数，若 f（x）在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围是（-1，0）．

Answer 1

分析 由函数f（x）的导函数f′（x）=$\frac{f'（x）}{a（x+1）（x-a）}$，且f（x）在x=a处取到极大值，在x=a的左右两边左增右减，即左侧导数为正，右侧导数为负，将其转化为不等式，解不等式求a

解答 解：由f（x）在x=a处取得极大值可知，当x＜a时，f′（x）＞0，即f′（x）=$\frac{f'（x）}{a（x+1）（x-a）}$＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，即f′（x）=$\frac{f'（x）}{a（x+1）（x-a）}$＜0，
即存在x∈（b，a），使得a（x+1）（x-a）＞0，且存在x∈（a，c），使得a（x+1）（x-a）＜0
若a＞0时，a（x+1）（x-a）＞0的解集为（a，+∞）或者（-∞，-1），故不合题意
若a＜0时，故有（x+1）（x-a）＜0，
当a＞-1，其解集为（-1，a），此时b=-1，且（x+1）（x-a）＞0，其解集为（a，+∞）或者（-∞，-1），此时c∈R，故-1＜a＜0符合题意
若a＜-1，显然不合题意，
综上讨论知，符合条件的a的取值范围是（-1，0）
故答案为：（-1，0）

点评 本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查知道函数单调性与极值，由极值判断方法将条件转化为不等式求解出参数了值范围的能力，本题思维量与运算量都比较大，综合性强，需要分类讨论，综合判断，请多分析此题的逻辑结构．