Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow m}$=（4b，$\sqrt{7}$），$\overrightarrow n}$=（a，sinA）满足$\overrightarrow m}$∥$\overrightarrow n}$．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$可得4bsinA=$\sqrt{7}$a，利用正弦定理计算即得结论；
（Ⅱ）通过a、b、c成等差数列可得a+c=2b，利用正弦定理及平方关系计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m=（4b，\sqrt{7}），\overrightarrow n=（a，sinA）$，$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴4bsinA=$\sqrt{7}$a，
根据正弦定理得4sinBsinA=$\sqrt{7}$sinA，
∴sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
（Ⅱ）∵a、b、c成等差数列，∴a+c=2b，
由正弦定理以及（Ⅰ）得sinA+sinC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$        ①
设cosA-cosC=x                             ②
①²+②²，得2-2cos（A+C）=$\frac{7}{4}$+x²               ③
又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0°＜B＜90°，cosA＞cosC，
故cos（A+C）=-cosB=-$\frac{3}{4}$．
代入③式得x²=$\frac{7}{4}$，
∴cosA-cosC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查向量数量积的运算、等差数列、正弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．