Question

11．设函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ） 求f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：$0＜f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的极值即可．
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）-mx，通过导函数的符号，求解实数m的取值范围．
（III）构造函数$F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}$，x＞a，通过导函数的符号，集合函数的单调性求解函数的极值，推出结果即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx，则f′（x）=1+lnx，（x＞0）
令f′（x）=0，解得：$x=\frac{1}{e}$，且当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时，f′（x）＜0，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$时，f′（x）＞0
因此：f（x）的极小值为$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$
（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1）
令h（x）=（x+1）ln（x+1）-mx，则h′（x）=ln（x+1）+1-m
注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必须要求h'（0）≥0，即1-m≥0，亦即m≤1
另一方面：当m≤1时，h′（x）=ln（x+1）+1-m≥0恒成立；
故实数m的取值范围为：m≤1
（III）构造函数$F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}$，x＞a，$F'（x）=1+lnx-ln\frac{a+x}{2}-1=ln\frac{2x}{a+x}$，
∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F′（x）＞0，F（x）在（a，+∞）上是单调递增的；
故F（b）＞F（a）=0，即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＞0$
另一方面，构造函数$G（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}-（x-a）ln2$，
$G'（x）=ln\frac{2x}{a+x}-ln2=ln\frac{x}{a+x}＜0$，
G（x）在（a，+∞）上是单调递减的
故G（b）＜G（a）=0即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$
综上，$0＜f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$．

点评 本题考查好的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．