Question

3．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D-BCE的体积为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B-ACDE的体积、三棱锥E-ACB的体积，即可求出三棱锥D-BCE的体积．

解答 解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为$\frac{1}{2}×2×4$=4；
四棱锥B-ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，
又AB⊥AC，且AE和AC相交，
∴AB⊥平面ACDE，
又AC=AB=AE=2，CD=4，
则四棱锥B-ACDE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{（4+2）×2}{2}×2$=4，
又三棱锥E-ACB的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，
∴三棱锥D-BCE的体积为4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
故答案为：4；$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．