Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的函数值的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，再利用正弦函数的图象和性质求得函数的单调区间．
（2）根据x的范围，确定2x+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象确定函数的最大和最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时，即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，函数单调增，
当2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k+$\frac{3π}{2}$，即kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，函数单调减，
故函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，
函数的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查了二倍角公式和和两角和公式的运用，考查了三角函数图象与性质．考查了学生的基础公式的灵活运用．