Question

2．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B-ADEC，且F为棱BC中点，$BA=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q-BE-A的余弦值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点H，连结DH、HF，证明DH⊥平面ABC，证明EF∥DH，然后证明EF⊥平面ABC；
（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．求出平面BQE的法向量，平面BAE的法向量，利用二面角Q-BE-A为锐二面角，通过向量的数量积求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：取AB中点H，连结DH、HF，
因为在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，所以AD=BD=1，
又因为翻折后$AB=\sqrt{2}$，所以翻折后AD⊥BD，且△ADB
为等腰直角三角形，所以DH⊥AB，
因为翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，因为DE∥AC，
∴AC⊥平面ADB，∴AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，
又∵HF∥AC，DE∥AC，且$HF=\frac{1}{2}AC=DE$，∴DEFH是平行四边形，∴EF∥DH，
∴EF⊥平面ABC；        …（5分）
（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），$F（1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），
则$\overrightarrow{BQ}=（0，t，-1）$，$\overrightarrow{EQ}=（-1，t，0）$，$\overrightarrow{AF}=（1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
设平面BQE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则由$\overrightarrow n•\overrightarrow{BQ}=0$，且$\overrightarrow n•\overrightarrow{EQ}=0$，得$\left\{\begin{array}{l}yt-x=0\\-x+ty=0\end{array}\right.$，
取y=1，则$\overrightarrow{n}=（t，1，t）$，
要使AF∥平面BEQ，则须$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}$=$（t，1，t）（1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$=$t-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t=0$，
所以$t=\frac{1}{3}$，即线段AD上存在一点$Q（0，\frac{1}{3}，0）$，使得AF∥平面BEQ，…（9分）
设平面BAE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则由$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0$，且${\overrightarrow n_1}•\overrightarrow{AE}=0$，得$\left\{\begin{array}{l}-{y_1}+{z_1}=0\\{x_1}-{y_1}=0\end{array}\right.$，
取y₁=1，则$\overrightarrow{n_1}=（1，1，1）$，∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}}}{{\sqrt{\frac{11}{9}}•\sqrt{3}}}=\frac{5}{{\sqrt{33}}}=\frac{{5\sqrt{33}}}{33}$，
因为二面角Q-BE-A为锐二面角，所以其余弦值为$\frac{{5\sqrt{33}}}{33}$，
即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），
使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q-BE-A的余弦值为$\frac{{5\sqrt{33}}}{33}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．