Question

12．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点C的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），点P是以C为圆心，半径长为2的圆上任意一点，点Q（5，-$\sqrt{3}$），M是线段PQ的中点．当点P在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线C₁．
（1）求曲线C₁的普通方程；
（2）过曲线C₁上任意一点A作与直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t为参数）夹角为30°的直线，交l于点T，求|TA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把极坐标化为直角坐标点C的坐标，可得圆C的方程．可设圆C上任意一点P$（1+2cosα，\sqrt{3}+2sinα）$，再利用中点坐标公式即可得出．
（2）利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）在直角坐标系中，点C的坐标为$（1，\sqrt{3}）$，可得：圆C的方程：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
可设圆C上任意一点P$（1+2cosα，\sqrt{3}+2sinα）$，
又令M（x，y），由Q（5，-$\sqrt{3}$），M是线段PQ的中点．
∴M的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6+2cosα}{2}}\\{y=\frac{2sinα}{2}}\end{array}\right.$，化为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$．
∴点M的轨迹的普通方程为：（x-3）²+y²=1．
（2）在曲线C₁上任意取一点A（3+cosθ，sinθ）到l的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|3+cosθ+sinθ-1|，
则|TA|=$\frac{d}{sin3{0}^{°}}$=$\sqrt{2}$$|\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+2|$=$|2sin（θ+\frac{π}{4}）+2\sqrt{2}|$，
当$sin（θ+\frac{π}{4}）=1$时，|TA|取得最大值，最大值为$2\sqrt{2}$+2；
当$sin（θ+\frac{π}{4}）$=-1时，|TA|取得最小值，最小值为2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、中点坐标公式、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．