Question

1．已知函数f（x）=ax-lnx-1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对任意的x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类讨论导函数的符号，在a＞0时由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调性，从而求得函数的极值点；
（Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值求得a，代入函数解析式，进一步代入f（x）≥bx-2，分离参数b后构造函数g（x）=1+$\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，利用导数求其最小值后得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax-lnx-1，得f′（x）=a-$\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）＜0，得0$＜x＜\frac{1}{a}$，由f′（x）＞0，得x$＞\frac{1}{a}$．
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}，+∞$）上单调递增，即f（x）在x=$\frac{1}{a}$处有极小值．
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点．
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点；
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，
∴f（x）≥bx-2等价于$1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}≥b$，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，得g′（x）=$\frac{-2+lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，可得x=e²，
当x∈（0，e²）时，g′（x）＜0，当x∈（e²，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，e²）上递减，在（e²，+∞）上递增，
∴$g（x）_{min}=g（{e}^{2}）=1-\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴$b≤1-\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查利用导数求函数的极值，考查了函数恒成立问题，训练了函数构造法和分离参数法，是中高档题．