Question

9．在等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（2）令b_n=log₂a_n²，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式求得q=2，再由等比数列的通项公式和求和公式计算即可得到所求；
（2）运用对数的性质，可得b_n=2n，再由等差数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=2，a₄=16，可得a₄=a₁q³，
即为2q³=16，解得q=2，
a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（2）b_n=log₂a_n²，=log₂2²ⁿ=2n，
则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n²+n．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查对数的运算性质，以及等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．