Question

6．如图，半圆的直径AB=2，D是半圆弧上一点，DC与半圆相切，且DC=2，设∠BAD=α．
（1）用α表示四边形ABCD的面积S；
（2）当α为何值时，四边形面积S最大？面积的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）记圆心为O，连结BD、OD，利用三角形面积公式及二倍角公式计算即可；
（2）S=$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1取最大值等价于y=sin（2α-$\frac{π}{4}$）取最大值，计算即可．

解答 解：（1）记圆心为O，连结BD、OD，
由题易知：∠1=∠2=α，BD=ABsinα=2sinα，
AD=ABcosα=2cosα，
则S=$\frac{1}{2}$AD•BD+$\frac{1}{2}$DC•DBsin∠2
=$\frac{1}{2}$AD•BD+$\frac{1}{2}$DC•DBsinα
=$\frac{1}{2}$•2cosα•2sinα+$\frac{1}{2}$•2•2sinα•sinα
=2sinαcosα+2sin²α
=sin2α+1-cos2α
=$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1；
（2）∵S=$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1，
∴当2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ时S最大，
∴当α=$\frac{3}{8}$π时S最大，面积的最大值为：$\sqrt{2}+1$．

点评 本题是一道三角函数的应用题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．