Question

15．已知f（x）=min{2$\sqrt{x}$，|x-2|}，其中min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{aa≤b}\\{ba＞b}\end{array}\right.$，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃．
（1）m的取值范围是$（{0，2\sqrt{3}-2}）$；
（2）当x₁x₂x₃取最大值时，m=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通过解方程可用m将x₁，x₂，x₃分别表示出来，利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃取最大值时m的值．

解答 解：（1）由函数y=f（x）的图象可知m的最大值为A点纵坐标，
解方程：2$\sqrt{x}$=2-x，即4x=4-4x+x²，解得x=4-2$\sqrt{3}$，
∴|4-2$\sqrt{3}$-2|=2$\sqrt{3}$-2，
∴m的取值范围是：$（{0，2\sqrt{3}-2}）$；
（2）不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，且2-m＞0，
由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，且m+2＞0，
∴x₁•x₂•x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$•（2-m）•（2+m）
=$\frac{1}{4}$•m²•（4-m²）
≤$\frac{1}{4}$•$[\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}]^{2}$
=$\frac{1}{4}•4=1$，
当且仅当m²=4-m²．即m=$\sqrt{2}$时取得等号，
∴x₁•x₂•x₃取最大值时，m=$\sqrt{2}$；
故答案为：$（{0，2\sqrt{3}-2}）$，$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题．