Question

5．设函数f（x）=|4x+a|-2a，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x-1≤x≤2}的子集，求实数a的取值范围．
（2）若方程f（x）-x+1=0只有一个解，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得不等式即|4x+a|≤6+2a的解集为{x-1≤x≤2}的子集，分类讨论求得实数a的取值范围．
（2）（2）由题意可得函数f（x）=|4x+a|-2a的图象和直线y=x-1只有一个交点，数形结合可得当直线y=x-1经过点A（-$\frac{a}{4}$，-2a）时，满足条件，由此求得a的值．

解答 解：（1）不等式即|4x+a|≤6+2a，则此不等式的解集为{x-1≤x≤2}的子集．
当6+2a＜0，即a＜-3时，解集为空集，符合题意，故a＜-3，符合题意．
当6+2a=0，即a=-3时，解集为{$\frac{3}{4}$}，也符合题意，故a=-3符合题意．
当6+2a＞0，即a＞-3时，解得-$\frac{3a+6}{4}$≤x≤$\frac{6+a}{4}$，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3a+6}{4}≥-1}\\{\frac{6+a}{4}≤2}\end{array}\right.$，求得a≤-$\frac{2}{3}$．
又a＞-3，故-3＜a≤-$\frac{2}{3}$．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞．-$\frac{2}{3}$]．
（2）由题意可得函数f（x）=|4x+a|-2a的图象和直线y=x-1只有一个交点，如图所示：
故当直线y=x-1经过点A（-$\frac{a}{4}$，-2a）时，满足条件，
故有-2a=-$\frac{a}{4}$-1，求得a=$\frac{4}{7}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于基础题．