Question

20．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间$[0，\frac{π}{4}]$内的最大值为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若$g（\frac{3}{4}B）=1$，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定g（x）的解析式，根据x的范围和三角函数的图象与性质确定g（x）的最大值的解析式，求得m．
（Ⅱ）根据第一问中函数的解析式确定B的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定b的范围，最后确定周长的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题设得$f（x）=sin2x-cos2x-1+m=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1+m$，
∴$g（x）=\sqrt{2}sin[2（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]-1+m=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1+m$，
因为当$x∈[0，\frac{π}{4}]$时，$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
所以由已知得$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$时，$g{（x）_{max}}=\sqrt{2}+m-1=\sqrt{2}$，
所以m=1；                                                   
（Ⅱ）由已知$g（\frac{3}{4}B）=\sqrt{2}sin（\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}）=1$，
因为三角形中$0＜\frac{3}{2}B＜\frac{3π}{2}$，
所以$\frac{π}{4}＜\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}＜\frac{7π}{4}$，
所以$\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，即$B=\frac{π}{3}$，
又因为a+c=2，由余弦定理得：${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={a^2}+{c^2}-ac={（a+c）^2}-3ac≥{（a+c）^2}-\frac{{3{{（a+c）}^2}}}{4}=1$，
当且仅当a=c=1时等号成立，
又∵b＜a+c=2，∴1≤b＜2，
所以△ABC的周长l=a+b+c∈[3，4），
故△ABC的周长l的取值范围是[3，4）．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题的能力和一定的推理能力．