Question

12．函数f（x）=（x-a）e^x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3]∪[4，+∞）
• B． [3，4]
• C． （-∞，3]
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 由函数f（x）=（x-a）e^x在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（2，3）内恒成立，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=（x-a）e^x，
∴f′（x）=（x+1-a）e^x，
∵函数f（x）=（x-a）e^x在区间（2，3）内没有极值点，
∴x+1-a≥0或x+1-a≤0在区间（2，3）内恒成立，
即a≤x+1或a≥x+1在区间（2，3）内恒成立，
∴a≤3或a≥4．
故实数a的取值范围是（-∞，3]∪[4，+∞），
故选A．

点评 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将函数在定区间上无极值，转化为f′（x）≥0或f′（x）≤0在定区间上恒成立，是解答的关键．